Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tọa độ điểm đối xứng với điểm $D(-1;3)$ qua đường thẳng $d:3x+y-10=0$ là điểm $D^{\prime }(a;b)$. Khi đó $a+b$ bằng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;1)$. Gọi $D^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ là điểm đối xứng của $D(-1;3)$ qua $d$. Khi đó $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(x^{\prime }+1;y^{\prime }-3)$ cùng phương với $\vec{n}$, nên $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=k(3;1)$, suy ra $x^{\prime }=-1+3k$, $y^{\prime }=3+k$. Trung điểm $I\left(\frac{x^{\prime }-1}{2};\frac{y^{\prime }+3}{2}\right)=\left(-1+\frac{3k}{2};3+\frac{k}{2}\right)$ thuộc $d$, thay vào phương trình $d$: $$3\left(-1+\frac{3k}{2}\right)+\left(3+\frac{k}{2}\right)-10=0\iff \frac{9k}{2}+\frac{k}{2}-10=0\iff 5k-10=0\iff k=2.$$ Vậy $D^{\prime }=(-1+6;3+2)=(5;5)$. Kiểm tra: trung điểm $I(2;4)$ thỏa $3(2)+4-10=0$; $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(6;2)=2(3;1)$ cùng phương với pháp tuyến. Cách khác: dùng công thức đối xứng qua $Ax+By+C=0$ với $f(D)=3(-1)+3-10=-10$, ta có $x^{\prime }=x_0-\frac{2Af(D)}{A^2+B^2}=-1-\frac{2\cdot 3\cdot (-10)}{10}=5$, $y^{\prime }=y_0-\frac{2Bf(D)}{A^2+B^2}=3-\frac{2\cdot 1\cdot (-10)}{10}=5$, cho cùng kết quả $D^{\prime }(5;5)$. Vậy $a=5$, $b=5$, nên $a+b=10$.