Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo 1m. Biết khoảng cách giữa hai thanh treo là 4m. Biết tổng độ dài nhỏ nhất của các đoạn dây xích là $a+b\sqrt{3}$ (trong đó $a,b$ là các số tự nhiên). Tính $a-b$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập mô hình: Gọi hai thanh treo là $L,R$ cách nhau $4\text{m}$, giá đỡ (vật trang trí) nằm thấp hơn thanh treo $1\text{m}$. Theo hình vẽ, dây xích đi từ mỗi thanh treo xuống hai điểm treo trung gian $M,N$, rồi từ $M,N$ có hai đoạn dây thẳng đứng xuống giá đỡ.

Gọi $h$ là chiều cao của $M,N$ so với giá đỡ ($0<h<1$), khi đó khoảng cách từ $M,N$ tới mặt phẳng thanh treo là $1-h$. Với $h$ cố định, tổng độ dài bốn đoạn dây từ hai thanh tới $M,N$ nhỏ nhất khi $M,N$ nằm chính giữa hai thanh (tức cách mỗi thanh $2\text{m}$ theo phương ngang), khi đó mỗi đoạn dây dài $\sqrt{2^2+(1-h{)}^2}=\sqrt{4+(1-h{)}^2}$.

Tổng độ dài dây xích:
$$S(h)=4\sqrt{4+(1-h{)}^2}+2h.$$

Đạo hàm: $S^{\prime }(h)=\frac{-4(1-h)}{\sqrt{4+(1-h{)}^2}}+2$. Cho $S^{\prime }(h)=0$:
$$\frac{1-h}{\sqrt{4+(1-h{)}^2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 4(1-h{)}^2=4+(1-h{)}^2\Rightarrow 3(1-h{)}^2=4\Rightarrow 1-h=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Khi đó:
$$S_{\min }=4\sqrt{4+\frac{4}{3}}+2\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=4\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}+2-\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}+2=4\sqrt{3}+2.$$

Vậy tổng độ dài nhỏ nhất là $2+4\sqrt{3}$, tức $a=2,b=4$, nên $a-b=2-4=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn ($-2$).