Từ tập hợp số các số tự nhiên liên tiếp $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$ cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ dưới đây. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\frac{T}{8}$ bằng bao nhiêu?

Do mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới và mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, khi sắp thứ tự $10$ số được chọn là $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6<x_7<x_8<x_9<x_{10}$ thì cách điền vào bảng là duy nhất, trong đó $A=x_1,B=x_3,C=x_6,D=x_{10}$.
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng $A,B,C,D$ ($d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Khi đó:
- Giữa $A$ và $B=A+d$ phải chọn $1$ số $x_2\in \{A+1,\dots ,A+d-1\}$: có $C_{d-1}^1$ cách.
- Giữa $B=A+d$ và $C=A+2d$ phải chọn $2$ số $x_4,x_5$: có $C_{d-1}^2$ cách.
- Giữa $C=A+2d$ và $D=A+3d$ phải chọn $3$ số $x_7,x_8,x_9$: có $C_{d-1}^3$ cách.
Điều kiện: $d-1\ge 3\iff d\ge 4$ và $D=A+3d\le 26\Rightarrow 4\le d\le 8$. Với mỗi $d$, số cách chọn $A\ge 1$ là $26-3d$.
Vậy $T={\sum }_{d=4}^8(26-3d)C_{d-1}^1{C}_{d-1}^2{C}_{d-1}^3=14\cdot 3\cdot 3\cdot 1+11\cdot 4\cdot 6\cdot 4+8\cdot 5\cdot 10\cdot 10+5\cdot 6\cdot 15\cdot 20+2\cdot 7\cdot 21\cdot 35=126+1056+4000+9000+10290=24472$.
Suy ra $\frac{T}{8}=\frac{24472}{8}=3059$.