Với mỗi số nguyên dương $x$, ký hiệu $v_2(x)$ là số nguyên không âm $y$ lớn nhất sao cho $x$ chia hết cho $2^y$.

Cho 100 số nguyên dương đôi một khác nhau $a_1,a_2,\dots ,a_{100}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả số nguyên không âm $m$ sao cho tồn tại $i\in \{1;2;\dots ;100\}$ để $m=v_2(a_i)$.

Chứng minh rằng $S=\{0;1;2;\dots ;99\}$ khi và chỉ khi với mỗi số nguyên $k$, tồn tại các số $b_1,b_2,\dots ,b_{100}$ thuộc tập hợp $\{0;1\}$ sao cho
$$k\equiv b_1{a}_1+b_2{a}_2+\cdots +b_{100}{a}_{100}(\mathrm{mod}{2}^{100}).$$