Xét ba số phức $z,z_1,z_2$ thỏa mãn $|z-i|=|z+1|$, $|z_1-3\sqrt{5}|=\sqrt{5}$ và $|z_2-4\sqrt{5}i|=2\sqrt{5}$. Giá trị nhỏ nhất của $|\sqrt{5}z-z_1|+|\sqrt{5}z-z_2|$ bằng

Đặt $w=\sqrt{5}z$, từ $|z-i|=|z+1|$ suy ra điểm $M(x;y)$ biểu diễn $w$ thuộc đường thẳng $\Delta :x+y=0$. Điểm $A$ biểu diễn $z_1$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(3\sqrt{5};0)$, bán kính $R_1=\sqrt{5}$; điểm $B$ biểu diễn $z_2$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(0;4\sqrt{5})$, bán kính $R_2=2\sqrt{5}$. Gọi $I_1^{\prime }(0;-3\sqrt{5})$ là điểm đối xứng của $I_1$ qua $\Delta$. Khi đó $MA+MB\ge I_1^{\prime }{I}_2-R_1-R_2=7\sqrt{5}-\sqrt{5}-2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$.