Xét các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn $a>1,b>1$ và $a^x=b^y=\sqrt{\frac{a}{b}}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x-2y$ thuộc tập nào dưới đây?

Chọn A.
Từ giả thiết, lấy logarit:
$a^x=\sqrt{\frac{a}{b}}⟹x={\log }_a\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{2}(1-{\log }_{a}b)$.
$b^y=\sqrt{\frac{a}{b}}⟹y={\log }_b\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{2}({\log }_{b}a-1)$.
Khi đó:
$P=x-2y=\frac{1}{2}(1-{\log }_{a}b)-2\cdot \frac{1}{2}({\log }_{b}a-1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\log }_{a}b-{\log }_{b}a+1=\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}{\log }_{a}b+{\log }_{b}a\right)$.
Vì $a>1,b>1$ nên ${\log }_{a}b>0$ và ${\log }_{b}a>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:
$\frac{1}{2}{\log }_{a}b+{\log }_{b}a\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}{\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{2}{\log }_{a}b={\log }_{b}a⟺({\log }_{a}b{)}^2=2⟺{\log }_{a}b=\sqrt{2}$ (thỏa mãn với $a,b>1$).
Do đó: $P\le \frac{3}{2}-\sqrt{2}\approx 1,5-1,414=0,086$.
Vì $0<0,086<0,5$ nên giá trị lớn nhất của $P$ thuộc khoảng $(0;\frac{1}{2})$.