Xét tính liên tục của các hàm số sau
a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}$
c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$
d) $f(x)=\sqrt{x-2}$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định trên $\mathbb{R}$. Với mọi $x_0\in \mathbb{R}$, ta có ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=x_0^3-x_0^2+8x_0=f(x_0)$. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$, xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$, tức tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$. Hàm số là phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng của tập xác định, tức liên tục trên mọi $x\in D$. Tại $x=0$ và $x=3$ hàm số không xác định nên không liên tục tại đó. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$, xác định khi $x\ne -1$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Với mọi $x_0\ne -1$, do $\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và mẫu số khác $0$ tại $x_0$, ta có ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\frac{\sin x_0+1}{x_0+1}=f(x_0)$. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ (không liên tục tại $x=-1$ vì hàm không xác định tại đó).

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$, xác định khi $x-2\ge 0$, tức $D=[2;+\infty )$. Với mọi $x_0>2$, ${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{x-2}=\sqrt{x_0-2}=f(x_0)$ nên $f$ liên tục tại $x_0$. Tại $x_0=2$ (điểm trái của miền xác định), xét giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, nên $f$ liên tục tại $x=2$. Vậy $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$.