Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}\ln x$ với mọi $x\in (0;+\infty )$

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3e^x+2x$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ khác $\vec{0}$. Tích có hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):mx+(m-1)y+z-10=0$ và mặt phẳng $(Q):2x+y-2z+3=0$. Với giá trị nào của dưới đây của $m$ thì $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau?

Cho $I={\int }_{-1}^3\left|2x-4\right|\mathrm{d}x$. Chọn khẳng định đúng.

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_0=16(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=t^2+3t(m/s^2)$. Các phát biểu sau đây đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$ với ba vectơ đơn vị $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$, cho $A(1;1;2)$, $B(2;-1;0)$, $\vec{u}=(1;-2;-1)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y+z+1=0$ và hai điểm $A(1;-1;2);B(2;1;1)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2x-1$ và $F(x)=\int f(x)\mathrm{d}x$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và chứa trục $Ox$ có dạng $ax+3y+cz+d=0$. Tính $2a+3c-d$.

Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc $v(km/h)$ phụ thuộc vào thời gian $t(h)$ có đồ thị như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh $I(3;9)$ và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng $\frac{1}{4}$. Quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 6 giờ là $\frac{a}{b},\left(a,b\in \mathbb{Z}\right),\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó $a-b$ bằng bao nhiêu?

Biết góc quan sát ngang của một camera là $116^{\circ }$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $A(2;1;5)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P):2x-y-2z+13=0$ (như hình minh họa). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần mười).

Cho tích phân ${\int }_1^2\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\mathrm{d}x=\ln a+\frac{b}{c}$, biết $a,b,c$ là số nguyên. Tính tổng $a+b+c$.