Cho hình chóp SABCD có 2 mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABCD). Đáy ABCD là hình thoi có cạnh a, $\widehat{BAD}=120^0$, Góc giữa 2 đường thẳng SB và CD bằng $30^0$. Tính giá trị tan của góc phẳng nhị diện $\left[A,SD,C\right]$.

Hình vẽ dưới đây là hai bánh răng của một động cơ, chúng có cùng kích thước. Khi động cơ hoạt động, hai bánh răng quay đều cùng chiều. Biết tốc độ quay của bánh răng ở hình 2 gấp đôi tốc độ quay của bánh răng ở hình 1 và phương trình biểu thị độ cao của điểm $A$ ở bánh răng thứ nhất là $h=2R+R\sin \left(\frac{\pi }{5}t\right)$ (trong đó $R$ là bán kính bánh răng, $t$ là thời gian tính bằng giây, $h$ là độ cao của điểm $A$). Giả sử tại thời điểm bắt đầu khởi động, hai điểm $A$ và $B$ có độ cao bằng nhau. Sau bao nhiêu giây kể từ thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động hai điểm $A$, $B$ có độ cao bằng nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, vào mỗi cuối tháng tính từ ngày gửi người đó trả góp 8 triệu đồng. Lãi suất cho số tiền chưa trả là 0,79\% một tháng. Biết số tiền phải trả ở kỳ cuối là $m$ (triệu đồng) thì người đó trả hết nợ ngân hàng. Tính giá trị $m$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một vườn hoa có chiều dài 15 mét được xây dựng giữa 2 tòa nhà ở 2 hướng Đông và Tây. Biết rằng 2 tòa nhà cách nhau 150 mét và độ cao của tòa nhà hướng Đông là 105 mét, độ cao của tòa nhà hướng Tây là 60 mét. Người ta tìm địa điểm trồng hoa cách tòa nhà ở hướng Tây $x$ (mét) để thời gian chiếu sáng vào vườn hoa là lớn nhất. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Biết thời gian ánh sáng mặt trời chiếu vào vườn hoa đạt lớn nhất khi góc $\theta$ lớn nhất (như hình vẽ).

a. Một túp lều có dạng hình chóp với đáy là hình thoi cạnh bằng $4m$. Trong bốn mặt bên thì có hai mặt bên kề nhau là hai tam giác đều (như hình vẽ). Tính chiều cao của túp lều để khoảng không gian bên trong nó là lớn nhất.



b. Gieo 4 con xúc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $a_i(1\le a_i\le 6)$ là số chấm xuất hiện trên con xúc sắc thứ $i(i=1,2,3,4)$. Tính xác suất để có thể chia $a_1;a_2;a_3;a_4$ thành 2 nhóm có tổng bằng nhau?