a. Một túp lều có dạng hình chóp với đáy là hình thoi cạnh bằng $4m$. Trong bốn mặt bên thì có hai mặt bên kề nhau là hai tam giác đều (như hình vẽ). Tính chiều cao của túp lều để khoảng không gian bên trong nó là lớn nhất.



b. Gieo 4 con xúc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $a_i(1\le a_i\le 6)$ là số chấm xuất hiện trên con xúc sắc thứ $i(i=1,2,3,4)$. Tính xác suất để có thể chia $a_1;a_2;a_3;a_4$ thành 2 nhóm có tổng bằng nhau?

a. Không mất tính tổng quát giả sử 2 tam giác mặt bên kề nhau đều là tam giác SCD và SCB. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, dễ thấy SO = OA = OC nên tam giác SAC vuông tại S.





Đặt $SA=x\Rightarrow h=\frac{4x}{\sqrt{x^2+16}}\Rightarrow V=\frac{2x\sqrt{48-x^2}}{3}$.

$V_{\max }\iff x=2\sqrt{6}\Rightarrow h=\frac{4\sqrt{15}}{5}(m)$.

b. Ta sẽ tính số bộ 4 số thoả mãn ta có thể chia 4 số đó thành 2 cặp số có tổng bằng nhau.

Gọi $A_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_2=x_3+x_4\},A_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_3=x_2+x_4\},A_3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_4=x_3+x_2\}$. Ta cần tính $|A_1\cup A_2\cup A_3|$.

Trước hết ta tính $|A_1|$, do vai trò các số hạng là tương đương nên $|A_1|=|A_2|=|A_3|$.

- Với $k\in \{2,\dots ,7\}$, số bộ $(x_1,x_2)$ (tương tự $(x_3,x_4)$) thoả mãn $x_1+x_2=k$ là $k-1$ ($1\le x_1\le k-1$ nên có $k-1$ cách chọn $x_1$, còn $x_2=k-x_1$ có 1 cách chọn). Như vậy số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ thoả mãn $x_1+x_2=x_3+x_4=k$ là $(k-1{)}^2$.

- Với $k\in \{8,\dots ,12\}$, số bộ $(x_1,x_2)$ (tương tự $(x_3,x_4)$) thoả mãn $x_1+x_2=k$ là $13-k$ bộ (do $k-6\le x_1\le 6$ nên có $13-k$ cách chọn $x_1$, còn $x_2=k-x_1$ có 1 cách chọn). Như vậy số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ thoả mãn $x_1+x_2=x_3+x_4=k$ là $(13-k{)}^2$.

Như vậy $$|A_1|=\sum _{k=2}^7(k-1{)}^2+\sum _{k=8}^{12}(13-k{)}^2=146=|A_2|=|A_3|$$

Tiếp theo ta tính $|A_1\cap A_2|$, số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ thoả mãn $x_1+x_2=x_3+x_4$ và $x_1+x_3=x_2+x_4$. Do vai trò của các số hạng là tương đương nên $|A_1\cap A_2|=|A_1\cap A_3|=|A_3\cap A_2|$. Ta có $(x_1+x_2)-(x_1+x_3)=(x_3+x_4)-(x_2+x_4)$ hay $x_2-x_3=x_3-x_2$. Từ đó ta suy ra $x_2=x_3$ và $x_1=x_4$. Có 6 cách chọn số $x_1$ và 6 cách chọn số $x_2$, do $x_1=x_4$ và $x_2=x_3$ nên chỉ có 1 cách chọn số $x_3$ và 1 cách chọn số $x_4$. Khi đó theo quy tắc nhân $$|A_1\cap A_2|=6\cdot 6\cdot 1\cdot 1=36=|A_1\cap A_3|=|A_3\cap A_2|$$

Cuối cùng ta tính $|A_1\cap A_2\cap A_3|$, số bộ thỏa mãn $x_1+x_2=x_3+x_4$, $x_1+x_3=x_2+x_4$ và $x_1+x_4=x_2+x_3$. Lập luận tương tự ta suy ra $x_1=x_2=x_3=x_4$. Khi đó $|A_1\cap A_2\cap A_3|=6$ (chỉ có 6 bộ từ $(1,1,1,1)$ đến $(6,6,6,6)$).

Từ đó số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ thỏa mãn ta có thể chia 4 số này thành 2 cặp số có tổng bằng nhau là

$$|A_1\cup A_2\cup A_3|=|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_1\cap A_2|-|A_2\cap A_3|-|A_1\cap A_3|+|A_1\cap A_2\cap A_3|$$

$$=3\cdot 146-3\cdot 36+6=336.$$

Suy ra xác suất ta có thể chia 4 số thành 2 cặp số có tổng bằng nhau là $$\frac{336}{6^4}=\frac{7}{27}$$

Cộng thêm với xác suất ta có một số bằng tổng ba số còn lại, xác suất để ta có thể chia 4 số thành 2 phần có tổng bằng nhau là $\frac{5}{81}+\frac{7}{27}=\frac{26}{81}$.

Thang điểm theo nguồn (trang 19-20): phần a gồm 6 bước mỗi bước 0.25 điểm (giả thiết hai tam giác đều và nhận xét SO = OA = OC; đặt SA = x và tính h; tính V; kết luận $V_{\max }$ với $x=2\sqrt{6}$ và $h=\frac{4\sqrt{15}}{5}$); phần b gồm các bước 0.25 điểm: tính $|A_1|=|A_2|=|A_3|=146$; tính $|A_1\cap A_2|=36$; tính $|A_1\cup A_2\cup A_3|=336$; xác suất $\frac{336}{6^4}=\frac{7}{27}$; kết quả cuối $\frac{5}{81}+\frac{7}{27}=\frac{26}{81}$.