Xét các đa thức $P(x),Q(x),R(x)$ với hệ số thực có bậc không quá 2027 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $P(x)\le Q(x)\le R(x)$.

ii) Có 1013 số thực phân biệt $x_1,x_2,\dots ,x_{1013}$ thỏa mãn $P(x_i)=R(x_i),\forall i=1,2,\dots ,1013$.

a) Chứng minh rằng: nếu tồn tại số thực $x_0$ khác tất cả các số $x_1,x_2,\dots ,x_{1013}$ và thỏa mãn $P(x_0)+R(x_0)=2Q(x_0)$ thì $P(x)+R(x)=2Q(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b) Giả sử $P(x),Q(x),R(x)$ đôi một phân biệt và $R(x)$ có bậc lẻ. Tồn tại hay không đa thức $Q(x)$ sao cho $R(x)-P(x)$ chia hết cho $Q(x)$?

Cho $n>1$ là một số nguyên lẻ, ta viết $n=2^{s}d+1$ trong đó $s\ge 1$ và $d$ là số nguyên dương lẻ. Với mỗi số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd (a,n)=1$, ta nói $a$ có liên hệ với $n$ nếu $a^d\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ hoặc trong dãy $a^d,a^{2d},a^{4d},\dots ,a^{2^{s-1}d}$ có đúng một số hạng đồng dư với $-1$ theo modulo $n$. Chứng minh rằng $n$ là số nguyên tố khi và chỉ khi với mọi số nguyên $a$ thỏa mãn $\gcd (a,n)=1$ đều có liên hệ với $n$.

Tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất sao cho tồn tại 2026 số nguyên không âm liên tiếp mà tổng tất cả các chữ số của chúng bằng $N$.