Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;5]$ và có đồ thị trên như hình vẽ sau:

Trên đoạn $[1;5]$, hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm:

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)>-1$ là:

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là $2a$. Thể tích khối chóp $S.BCD$ bằng:

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=3$ và công bội $q=-2$. Giá trị của $u_3$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=\frac{1}{4}$. Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ bằng:

Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ (mg/l) của thuốc trong máu sau $x$ phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công thức $C(x)=\frac{30x}{x^2+2}$ (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning).

Trong một hộp đựng 5 quả cầu chứa phiếu có thưởng và 10 quả cầu chứa phiếu không có thưởng (các quả cầu cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Hai bạn Bình, An lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) mỗi bạn một quả. Bạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),B(-2;1;1)$.

Vật thể chuyển động trong 10 phút với vận tốc là giá trị hàm số $v(t)=\{\begin{array}{ll}a{t}^2+bt+c& (0\le t<6)\\ m& (6\le t\le 10)\end{array}$ (đơn vị: m/phút), phụ thuộc vào thời gian $t$ (đơn vị: phút). Đồ thị của hàm số vận tốc như hình vẽ sau:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB=1,AD=\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA=\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy. Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$ là ${\alpha }^{\circ }$. Tìm giá trị của $\alpha$?

Người ta làm một sân khấu có hình dạng hai hình tròn giao nhau như hình vẽ. Bán kính hai hình tròn lần lượt là $30\text{ m}$ và $40\text{ m}$. Khoảng cách giữa tâm hai hình tròn là $50\text{ m}$. Tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn theo ${\text{m}}^2$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là $65\%$ và $35\%$. Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là $10\%$, nhóm cao đẳng là $15\%$. Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).

Trên mỗi cạnh của hình bên dưới, có ghi số phút để đi từ điểm này đến điểm kế tiếp:

Tìm tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm A đến điểm D trên hình.

Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{24000}{1+6e^{-t}}(t\ge 0)$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t=\ln a$. Tìm $a$?

Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $X$ ở trên mặt đất tới đỉnh $T$ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $T(40;60;150)$ và $X(100;-40;0)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$, với $O$ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $A(40;30;-20)$ nằm dưới một cái hồ tới một điểm $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất. Tính $a+b+c$.