Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+2y-z-2=0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}$ có phương trình là:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${\int }_{17}^{2026}f(x)dx=8$ và ${\int }_{89}^{2026}f(x)dx=10$. Giá trị của biểu thức ${\int }_{17}^{89}f(x)dx$ bằng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA\perp (ABC)$, $SA=AB=a$ (hình vẽ bên dưới). Tính số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$.

Kết quả kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 12B được thống kê như sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:

Cho ${\log }_{a}b=5$. Giá trị của biểu thức ${\log }_a(a^{2}b)$ bằng:

Hàm số $y=x^3-3x+2026$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $f(x)=\sin x+2x$. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $F(0)=4$.

Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V=12{\text{ m}}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật liệu xây đáy là $500$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$, xây thành bể là $300$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể, $h$ là chiều cao của bể ($x>0,h>0$, đơn vị: $\text{m}$).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tọa độ các đỉnh $A(1;-1;3)$, $B(0;2;4)$, $D(2;-1;1)$ và $A^{\prime }(0;1;2)$.

Một xưởng sơn dự định sản xuất hai loại sơn là sơn nội thất và sơn ngoài trời. Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại A và B với trữ lượng lần lượt là $6$ tấn và $8$ tấn. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần $2$ tấn nguyên liệu A và $1$ tấn nguyên liệu B. Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần $1$ tấn nguyên liệu A và $2$ tấn nguyên liệu B. Kết quả nghiên cứu thị trường cho thấy nhu cầu sơn nội thất không quá $2$ tấn và không nhiều hơn nhu cầu sơn ngoài trời $1$ tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là $60$ triệu đồng, một tấn sơn ngoài trời là $30$ triệu đồng (giả sử rằng số sơn sản xuất ra đều được bán hết).

Trong trò chơi mô phỏng xây dựng công viên giải trí Roller Coaster Tycoon, một kỹ sư thiết kế một đoạn đường ray hình lượn sóng. Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, đoạn đường ray này được mô hình hóa bởi đồ thị của hàm số: $y=x^3-6x^2+9x+1$, với $0\le x\le 4$. Biết hệ trục tọa độ được thiết lập sao cho trục $Ox$ nằm ngang (đóng vai trò là mặt sàn kỹ thuật) và **mỗi đơn vị độ dài trên các trục tọa độ tương ứng với $2$ mét trên thực tế**. Để kiểm tra độ ổn định của cấu trúc, kỹ sư sử dụng thiết bị laser để đo khoảng cách trực tiếp giữa hai điểm chốt kỹ thuật đặt tại điểm cực đại $A$ và điểm cực tiểu $B$ của đồ thị hàm số trên. Hãy tính độ dài **thực tế** của khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$. (không làm tròn các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm theo đơn vị **mét**).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $(P)$ qua điểm $M(2;4;8)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ sao cho $OA=2OB=4OC$. Tính $T=a+b+c$.

Để chuẩn bị cho lễ hội, một đơn vị thi công dựng một cổng chào dạng vòm Parabol có chiều cao $4\text{ m}$ và chiều rộng chân cổng là $4\text{ m}$. Ở chính giữa cổng, người ta thiết kế một lối đi hình chữ nhật cao $2\text{ m}$ và rộng $2\text{ m}$. Phần diện tích mặt trước của cổng Parabol (sau khi đã trừ lối đi hình chữ nhật) được chia thành $8$ lớp ngang, mỗi lớp cao $0,5\text{ m}$ để ốp tấm nhôm Alu trang trí có màu khác nhau (như bản vẽ thiết kế hình bên dưới).

Đơn giá thi công lắp tấm nhôm Alu cho cổng được tính như sau:
- Lớp dưới cùng có giá là $400$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$.
- Càng lên cao, giá thi công mỗi lớp tiếp theo tăng thêm $50$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ so với lớp ngay dưới nó.
Tính tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) ốp Alu cho phần diện tích còn lại của cổng sau khi đã loại bỏ lối đi (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Chỉ số giá tiêu dùng CPI là chỉ số tính theo phần trăm phản ánh mức thay đổi của giá hàng hóa tiêu dùng theo thời gian. Giả sử tại một quốc gia, chỉ số CPI sau $n$ năm được dự báo theo công thức: $CP{I}_n=CP{I}_0(1+g{)}^n$. Trong đó $CP{I}_0$ là chỉ số tại thời điểm bắt đầu dự báo và $g$ là tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm. Biết rằng vào tháng $1$ năm $2020$ chỉ số CPI của quốc gia này là $118,09$ và tỉ lệ lạm phát duy trì ổn định ở mức $g=3,21\%$/năm. Hãy tính chỉ số CPI dự báo của quốc gia này vào tháng $1$ năm $2030$ (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị).

Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng $S$ (đơn vị: $\text{mg/l}$) thay đổi theo thời gian $t$ giờ ($t\ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số: $S(t)=\frac{10t+5}{t+1}$. Biết rằng tốc độ sinh trưởng $V$ của vi khuẩn phụ thuộc vào nồng độ dinh dưỡng theo hàm số $V(S)=\frac{5S}{S+2}$. Khi thời gian $t$ kéo dài, tốc độ sinh trưởng $V$ tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng $K$ nhất định. Hỏi sau bao nhiêu **phút** thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn đạt $90\%$ của ngưỡng $K$ đó?

Cho tập hợp $X=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $4$ chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập $X$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp $S$. Xác suất để chọn được một số chia hết cho $3$ bằng $\frac{a}{b}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $T=a+b$.