Câu 1 (6,0 điểm): Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)\text{ với mọi }x,y\in \mathbb{R}.$$

Câu 2 (7,0 điểm):

a) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$, $q$ và số nguyên không âm $k$ thỏa mãn phương trình $p^2-q^2=2^k$.

b) Với $n\ge 3$ là một số nguyên và $k$ là một số nguyên không âm, chứng minh rằng không thể tồn tại các số nguyên tố $p$, $q$ thỏa mãn phương trình $p^n-q^n=2^k$.

Câu 3 (7,0 điểm): Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Đường thẳng đi qua $H$ song song với $BC$ cắt $AB$, $AC$ tương ứng tại $E$, $F$. Tia $AO$ cắt $(O)$ tại $A^{\prime }$ ($A^{\prime }$ khác $A$) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }EF$ tại $P$ ($P$ khác $A^{\prime }$). Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $EF$ tại $T$. Chứng minh rằng:

a) $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.

b) Đường thẳng $A^{\prime }T$ cắt đường thẳng $HP$ tại một điểm nằm trên $(O)$.