Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng

Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi tại thời điểm $t=0$ (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126$ (s), cho bởi hàm số
$$v(t)=0,001302t^3-0,09029t^2+23$$
($v$ được tính bằng ft/s và 1 feet $=0,3048$ m, $t$ được tính bằng giây).



Gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng từ giây thứ bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị) tính từ thời điểm $t=0$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Một tấm bạt hình vuông cạnh $20m$ như hình vẽ dưới bên. Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gấp và may lại, nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí để tránh hư hại tháp khi trời mưa.
Biết khối chóp hình thành sau khi gấp và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Phần diện tích tấm bạt bị cắt theo yêu cầu trên bằng

Cho hàm số $y=\sqrt{x^2+2x+2}$. Số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là

Cho hàm số $y=ax+2+\frac{b}{x+c}$ có đồ thị như hình bên.

Giá trị của $P=a+b+c$ bằng

Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc và $OA=OB=OC=a$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Góc tạo bởi hai vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{OM}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là

Chi phí nhiên liệu của một con tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi $v=10(km/h)$ thì chi phí nhiên liệu phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ. Gọi $x(km/h)$ là vận tốc của tàu.

Cho hàm số $y=\frac{x^2+3x-8}{x-2}$ (1) và đường tròn $(C):(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=4$. Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(C)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0),A^{\prime }(0;0;3)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $BD,A{D}^{\prime }$ sao cho $AN=DM$, $P$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$.

Cho tập $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Gọi $S$ là tập các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ $A$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Xác suất số được chọn có tích các chữ số bằng 2520 là $\frac{a}{b}$ (trong đó phân số $\frac{a}{b}$ tối giản). Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?

Ở trên biển, hai con tàu $A$ và $B$ đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 10 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu $A$ chạy về hướng Nam với vận tốc 8 hải lí/giờ, còn tàu $B$ chạy về vị trí hiện tại của tàu $A$ với vận tốc 6 hải lí/giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Bác Bình có một nông trại ao nuôi cá, mỗi ngày thu hoạch được 2 tấn cá. Nếu bán cho thương lái với giá 30 nghìn đồng/kg thì hết cá, nếu giá bán cứ tăng thêm 2 nghìn đồng/kg thì số cá thừa sẽ tăng thêm 10kg. Số cá thừa này được bán để làm thức ăn cho động vật với giá 10 nghìn đồng/kg. Hỏi Bác Bình phải bán với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg để số tiền bán cá mỗi ngày đạt doanh thu nhiều nhất?

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB=1,AC=2$, góc $BAC=120^o$ và $SA\perp (ABC)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SB,SC$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(AMN)$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{7}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Để làm một cái hộp đựng quà tặng bạn nhân dịp sinh nhật. Từ một tấm bìa hình chữ nhật với kích thước $40cm\times 20cm$, bạn Hoa cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là $x(cm)$ và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc như hình bên) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Hỏi bạn Hoa cần cắt bỏ cạnh hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để phần không gian của hộp đựng nhiều quà nhất?

Có bao nhiêu số nguyên $y\in [-2024;2024]$ sao cho ứng với mỗi $y$, tồn tại số thực $x$ thỏa mãn điều kiện $15\sqrt[3]{5y+15.2^x}+5y=8^x$ ?

Một công ty X sản xuất máy tính bảng dành cho học sinh bán được $x$ máy mỗi tháng. Giá bán của mỗi máy tính bảng được cho bởi công thức $p(x)=8600-10x$ (nghìn đồng). Chi phí để sản xuất mỗi máy là $c(x)=x^2-4x+500+\frac{1000}{x}$ (nghìn đồng). Hỏi công ty X sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng mỗi tháng để lợi nhuận cao nhất?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(0;0;4)$ và $N\left(\frac{3}{2};2;6\right)$. Xét điểm $I(a;b;c)$ thay đổi sao cho $IN$ luôn vuông góc với $OM$ và diện tích tam giác $IMO$ bằng 8. Khi độ dài đoạn thẳng $IN$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị $5a+5b+c$ bằng bao nhiêu?