Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $a$. Giá trị $\sin$ của góc nhị diện $\left[A^{\prime },BD,A\right]$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AC\perp BD$ nên $AO\perp BD$ với $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tam giác $A^{\prime }BD$ cân tại $A^{\prime }$ ($A^{\prime }B=A^{\prime }D=a\sqrt{2}$) nên $A^{\prime }O\perp BD$, với $A^{\prime }O=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Góc nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ là $\widehat{A^{\prime }OA}$. Theo định lý cosin: $\cos \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{A{O}^2+A^{\prime }{O}^2-A{A}^{\prime 2}}{2\cdot AO\cdot A^{\prime }O}=\frac{\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{2}-a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{a^2}{\frac{a^2\sqrt{12}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Suy ra $\sin \widehat{A^{\prime }OA}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.