Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0),A^{\prime }(0;0;3)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $BD,A{D}^{\prime }$ sao cho $AN=DM$, $P$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$.

(AI giải đề cho tôi)
Lập phương cạnh 3: C(3;3;0), B'(3;0;3), C'(3;3;3), P trung điểm B'C' nên P(3; 3/2; 3).
a) Trọng tâm tam giác PCD: ((3+3+0)/3; (3/2+3+3)/3; (3+0+0)/3) = (2; 5/2; 1). Đúng.
b) Với G(2; 5/2; 1) là trọng tâm tam giác PCD, ta có KP + KC + KD = 3KG. K thuộc (Oxz) nên y_K = 0, KG nhỏ nhất bằng khoảng cách từ G đến mặt phẳng y = 0, bằng 5/2. Vậy min = 3·(5/2) = 15/2 ≠ 5/2. Sai.
c) AP = (3; 3/2; 3) với |AP| = √(9 + 9/4 + 9) = (3√10)/2... thực tế |AP| = √(45/4) = (3√5)/2; BC' = (0; 3; 3) với |BC'| = 3√2. Tích vô hướng: 0 + 9/2 + 9 = 27/2. cos = (27/2)/((3√5/2)·3√2) = (27/2)/(9√10/2) = 3/√10 ≈ 0,9487, góc ≈ 18,4° ≠ 60°. Sai. (Lưu ý: 3/√10 ≈ 0,949 cho góc ≈ 18,43°, không phải 45° như một số bản giải ghi nhầm; dù vậy kết luận vẫn là sai.)
d) M trên BD: M = (3v; 3−3v; 0), DM = 3√2·v; N trên AD': N = (0; 3w; 3w), AN = 3√2·w. Điều kiện AN = DM cho w = v. MN² = 9v² + (3−6v)² + 9v² = 54v² − 36v + 9, nhỏ nhất tại v = 1/3 với MN² = 3, tức MN = √3 ≠ √2. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác PCD với P(3; 3/2; 3), C(3;3;0), D(0;3;0) là (2; 5/2; 1).
b) (AI giải đề cho tôi)
KP+KC+KD = 3KG với G(2; 5/2; 1); K thuộc (Oxz) nên min KG = 5/2, min biểu thức = 15/2 ≠ 5/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
AP = (3; 3/2; 3), BC' = (0; 3; 3). cos(AP, BC') = (27/2)/((3√5/2)·3√2) = 3/√10 ≈ 0,9487, góc ≈ 18,4° ≠ 60°. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với AN = DM, MN² = 54v² − 36v + 9 nhỏ nhất bằng 3 tại v = 1/3, nên MN ngắn nhất = √3 ≠ √2.