Cho các số thực $x$, $y$ thỏa mãn $5+16.4^{x^2-2y}=\left(5+4^{2x^2-4y}\right).7^{2y-x^2+2}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{10x+6y+26}{2x+2y+5}$. Tổng giá trị $M+m$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2-2y$, phương trình trở thành $5+16\cdot 4^t=(5+4^{2t})\cdot 7^{2-t}$. Thử $t=2$: VT $=5+16\cdot 16=261$, VP $=(5+256)\cdot 7^0=261$, thỏa mãn. Xét $f(t)=5+16\cdot 4^t-(5+4^{2t})7^{2-t}$, hàm liên tục và chỉ có nghiệm $t=2$ (kiểm tra bằng cách xét $u=4^t$: $5+16u=(5+u^2)\cdot 49/7^{{\log }_{4}u}$, hàm đơn điệu nên nghiệm duy nhất $t=2$). Vậy $x^2-2y=2\Rightarrow y=\frac{x^2-2}{2}$.

Khi đó:
$$2x+2y+5=2x+x^2-2+5=x^2+2x+3>0,$$
$$10x+6y+26=10x+3x^2-6+26=3x^2+10x+20.$$

$$P=\frac{3x^2+10x+20}{x^2+2x+3}.$$

Để $P=k$ có nghiệm $x$: $(3-k)x^2+(10-2k)x+(20-3k)=0$ phải có biệt thức $\ge 0$:
$$(10-2k{)}^2-4(3-k)(20-3k)\ge 0\iff -4(2k^2-19k+35)\ge 0\iff 2k^2-19k+35\le 0.$$
Nghiệm: $k=\frac{19\pm \sqrt{361-280}}{4}=\frac{19\pm 9}{4}$, tức $k\in \left[\frac{5}{2};7\right]$.

Vậy $M=7$, $m=\frac{5}{2}$, $M+m=\frac{19}{2}$.