1. Cho tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$, thỏa mãn $\frac{\cos B}{c}=\frac{\cos C}{b}=\frac{\sin A}{a}$. Tính số đo của góc $A$.
2. Giải phương trình trên tập số thực: ${\log }_2(x+3)+{\log }_2\left(\sqrt{x+2}-x^2\right)=1+{\log }_2(2x+1)$.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $$u_1=1,u_{n+1}=\frac{u_n}{\sqrt{n{u}_n^2+1}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
1. Xác định số hàng tổng quát của dãy $(u_n)$.
2. Ký hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không lớn hơn $x$, gọi là phần nguyên của số $x$, và $\{x\}=x-[x]$ gọi là phần lẻ của $x$. Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $x_n=n{u}_n$. Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\{x_n\}$.

1. Ba học sinh An, Lan và Hoa, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $[3;12]$. Tính xác suất để ba số được viết đôi một khác nhau và tích của ba số đó là một số chính phương.
2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $$4P(x)P(2x)+{\left(P(2x)\right)}^2=2P(x)\cdot P(4x),\forall x\in \mathbb{R}.$$
3. Lớp 11A có 40 học sinh tham gia ngoại khóa tại một khu vui chơi có 4 trò chơi khác nhau. Biết mọi học sinh đều tham gia và mỗi học sinh chỉ được đăng ký tham gia một trò chơi, mỗi trò chơi có ít nhất một người chơi và không trò chơi nào có quá 15 học sinh đăng ký. Hỏi lớp 11A có bao nhiêu cách đăng ký trò chơi?

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, có độ dài cạnh đáy là $a$ và cạnh bên là $b$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Gọi $\alpha ,\beta$ lần lượt là góc giữa đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }AM)$. Chứng minh rằng $4{\cos }^2\alpha =3+{\cos }^2\beta$ và xác định mối quan hệ giữa $a,b$ để đường thẳng $A{B}^{\prime }$ vuông góc với đường thẳng $B{C}^{\prime }$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tia $IH$ cắt $(O)$ tại $T$. Trên đường thẳng $EF$ lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{AHD}=90^{\circ }$.
1. Chứng minh rằng $\widehat{ATH}=90^{\circ }$ và đường thẳng $DT$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$.
2. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $EF$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIT$ ($M$ và $E$ khác phía đối với $F$). Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $AH$ với $(O)$ $(P\ne A)$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $MB$ với đường thẳng $TP$. Chứng minh rằng $K{C}^2=KP\cdot KT$.