Bài 6. (7,0 điểm)

a) Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\sigma (n)$ là tổng các ước dương của $n$. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n$ là ước của $2^{\sigma (n)}-1$.

b) Cho dãy số nguyên dương $(a_n{)}_{n\ge 1}$ và dãy các số nguyên tố $(p_n{)}_{n\ge 1}$ thoả mãn với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $p_n\mid a_n$ và $a_{n+1}=\frac{a_n}{p_n}\left(p_n^{1013}-1\right)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m$ chia hết cho 2026.

Bài 7. (7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$, có ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Các đoạn thẳng $AG,BG,CG$ theo thứ tự cắt đường tròn $(DEF)$ tại $I,J,K$. Các đường tròn $(AID),(BJE),(CKF)$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $X,Y,Z$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AX,BY,CZ$ đồng quy tại một điểm trên đường thẳng $OH$.

b) Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $(AHB)$ tại điểm thứ hai là $N$; đường thẳng $AB$ cắt đường tròn $(AHC)$ tại điểm thứ hai là $M$. Đường tròn $(HMN)$ cắt lại các đường thẳng $AB,AC$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $S,T$. Chứng minh $ST$ vuông góc với $OH$.