1) Cho $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Tính: $\sin \alpha$; $\cos 2\alpha$; $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$, $\tan 2\alpha$, $\cos \frac{\alpha }{2}$.

2) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$. Tính $\sin 2\alpha$; $\sin 4\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1) Với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ thì $\sin \alpha >0$, nên $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$.

$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{25}{169}-1=-\frac{119}{169}$.

$\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{12}{13}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{12\sqrt{3}+5}{26}$.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{12}{13}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{120}{169}$, nên $\tan 2\alpha =\frac{-120/169}{-119/169}=\frac{120}{119}$.

Vì $\frac{\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \frac{\alpha }{2}>0$: $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Bài 2) Bình phương hai vế: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow 1+\sin 2\alpha =\frac{1}{4}\Rightarrow \sin 2\alpha =-\frac{3}{4}$.

Ta có $\cos 2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$. Vì $(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=2-(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$ nên $\cos \alpha -\sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$, suy ra $\cos 2\alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Do đó $\sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha =2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\pm \frac{\sqrt{7}}{4}\right)=\mp \frac{3\sqrt{7}}{8}$, tức $\sin 4\alpha =\pm \frac{3\sqrt{7}}{8}$ (hai giá trị tương ứng với hai khả năng dấu của $\cos \alpha -\sin \alpha$).