1) Rút gọn các biểu thức sau:

a) $E=\frac{1-{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-{\cos }^2\alpha$;

b) $F=2\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$.

2) Chứng minh rằng:

a) $\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin 2x-\cos 2x}=\cot x$

b) $\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\cot }^2\alpha -{\tan }^2\alpha }={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$

c) $\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\cot \beta -\cot \alpha }=\tan \alpha \tan \beta$

d) $\frac{1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{(\sin x+\cos x{)}^2}=(\sin x-\cos x{)}^2$

3) Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng $\sin (A+B+2C)=-\sin C$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 2 (Phần 4)**

**1) Rút gọn:**

a) $E=\frac{1-{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-{\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1={\tan }^2\alpha$ (với $\cos \alpha \ne 0$).

b) $F=2({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=2({\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x)=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2=2$.

**2) Chứng minh:**

a) VT $=\frac{(1+\cos 2x)+\sin 2x}{(1-\cos 2x)+\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x}{2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}=\frac{2\cos x(\cos x+\sin x)}{2\sin x(\sin x+\cos x)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x=$ VP. (đpcm)

b) VT $=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }}=\frac{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )}={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =$ VP. (đpcm)

c) VT $=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{\frac{\cos \beta }{\sin \beta }-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \beta \sin \alpha -\cos \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}=\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\cdot \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha -\beta )}=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }=\tan \alpha \tan \beta =$ VP. (đpcm)

d) VT $=\frac{({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2(\sin x+\cos x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=(\sin x-\cos x{)}^2=$ VP. (đpcm)

**3)** Vì $ABC$ là tam giác nên $A+B+C=\pi$, suy ra $A+B=\pi -C$. Do đó:
$$\sin (A+B+2C)=\sin (\pi -C+2C)=\sin (\pi +C)=-\sin C.$$ (đpcm)

Tất cả các phép biến đổi đều đúng, các điều kiện xác định (cos, sin khác 0 ở mẫu) được đảm bảo trong miền xác định của từng biểu thức.