(1.5 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=AB=2a$.

a) Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$.

b) Xác định và tính số đo góc giữa đường thẳng $AC$ và $(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mà $BC\perp AB$, $BC\perp SA$, $AB,SA\subset (SAB)$ và cắt nhau tại $A$, nên $BC\perp (SAB)$.

b) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ theo giao tuyến $SB$. Trong $(SAB)$, kẻ $AH\perp SB$ tại $H$, suy ra $AH\perp (SBC)$. Do đó $CH$ là hình chiếu của $AC$ lên $(SBC)$, góc giữa $AC$ và $(SBC)$ là $\widehat{ACH}$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB=2a$ nên $SB=2a\sqrt{2}$. Diện tích $\Delta SAB$: $AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2a\cdot 2a}{2a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC=2a\sqrt{2}$.

Trong tam giác $ACH$ (vuông tại $H$): $\sin \widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{ACH}=30^{\circ }$.

Vậy góc giữa $AC$ và $(SBC)$ bằng $30^{\circ }$.