a) Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{MN}$

b) Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều. Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$. Trọng lượng của chiếc đèn là $27N$ và bán kính của chiếc đèn là $0,5m$.



Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $12N$. (Chiều dài tính theo đơn vị cm và làm tròn đến 1 số sau phần thập phân).

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn hệ trục tọa độ với A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), A'(0;0;2), B'(2;0;2), C'(2;2;2), D'(0;2;2). M trung điểm B'C' nên M(2;1;2), N trung điểm CC' nên N(2;2;1). Suy ra $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{MN}=(0;1;-1)$. Vậy $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MN}=2\cdot 0+2\cdot 1+0\cdot (-1)=2$.

b) Gọi H là tâm đèn. Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính r = 0,5 m nên HA = HB = HC = 0,5 m. Do đối xứng, ba lực căng $\overrightarrow{T_A},\overrightarrow{T_B},\overrightarrow{T_C}$ có cùng độ lớn T và cùng hợp với phương thẳng đứng góc θ. Cân bằng theo phương thẳng đứng: $3T\cos \theta =27\Rightarrow T\cos \theta =9$. Dây chịu được tối đa 12N nên $T\le 12\Rightarrow \cos \theta \ge \frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.

Trong tam giác vuông OHA (OH vuông góc mặt đèn): $\sin \theta =\frac{HA}{OA}=\frac{r}{L}$. Chiều dài L nhỏ nhất tương ứng $\cos \theta =\frac{3}{4}$, khi đó $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Suy ra $L=\frac{r}{\sin \theta }=\frac{0,5}{\sqrt{7}/4}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\approx 0,7559$ m $\approx 75,6$ cm.

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là 75,6 cm (lúc đó lực căng đúng bằng 12N).