Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$. Tâm đáy $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Vì $S.ABCD$ đều nên $S$ nằm trên đường thẳng qua $O$ vuông góc với đáy, và $SA=a$: $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2\Rightarrow a^2=S{O}^2+\frac{a^2}{2}\Rightarrow SO=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Vậy $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AS}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$.
Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{a}{2}\cdot 0+\frac{a}{2}\cdot a+\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot 0=\frac{a^2}{2}$.