a)(0,5đ) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1;3)$, $B(-1;2)$, $C(-4;3)$. Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên đường thẳng $BC$ sao cho tam giác $AMC$ vuông tại $A$.
b)(0,5đ). Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm là $O$, $M$ là một điểm trên cạnh $AD$ sao cho $4\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MD}$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

HƯỚNG DẪN CHẤM TỰ LUẬN TOÁN 10 – MÃ ĐỀ CHẴN: 102, 104, 106, 108 (trang 11–12):

Câu 2a:
+ Vì $M$ nằm trên đường thẳng $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}\Rightarrow M(-1-3t;2+t)$. (0,125 điểm)
+ Tam giác $AMB$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow t=-\frac{2}{3}$. (0,25 điểm)
+ Tìm được tọa độ $M\left(1;\frac{4}{3}\right)$ (0,125 điểm)

Cách 2:
Gọi $M(x;y)$. $\overrightarrow{BM}=(x+1;y-2),\overrightarrow{BC}=(-3;1),$ $$\overrightarrow{AM}=(x-1;y-3),\overrightarrow{AC}=(-5;0)$$
+ Vì $M$ nằm trên đường thẳng $BC$ nên $\overrightarrow{BM}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ $$\Rightarrow \frac{x+1}{-3}=\frac{y-2}{1}\Rightarrow x+3y=5(1)$$ (0,125 điểm)
+ Tam giác $AMB$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}=0$ $$\Rightarrow x-1=0(2)$$ (0,125 điểm)
+ từ (1) và (2) suy ra $x=1;y=\frac{4}{3}\Rightarrow M\left(1;\frac{4}{3}\right)$ (0,25 điểm)

Câu 2b:
$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BO}$$ (0,125 điểm)
Vì $M$ là một điểm trên cạnh AD và $4MA=3MD$ nên (0,125 điểm)
$$4\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MD}\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{BD}$$
$$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{BD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$$ (0,125 điểm)
$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{14}\overrightarrow{BC}$$ (0,125 điểm)