Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong $OABC$ (B là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f(x)$) được mô hình hóa trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị mỗi trục là $10m$). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong $OABC$ thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Biết đơn giá làm hồ bơi là 400.000 đồng/m${}^2$, đơn giá trồng cỏ là 200.000 đồng/m${}^2$. Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$ $(x>2)$. Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường $MN$ đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$ mà anh Nghĩa muốn làm?(Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $O(0;0)$, $C(3;0)$, đường cong là đồ thị hàm bậc ba $f(x)=-x^3+3x^2$ (đi qua $O$, $C$, có cực đại $B(2;4)$, $A(0;4)$). Kiểm tra chi phí: mỗi đơn vị trục là $10m$ nên 1 đơn vị diện tích $=100m^2$. Diện tích vườn $S_2={\int }_0^3(-x^3+3x^2)dx=\frac{27}{4}=6,75$; diện tích hồ bơi $S_1=2\cdot 4-{\int }_0^2(-x^3+3x^2)dx=8-4=4$. Chi phí $=400000\cdot 100\cdot 4+200000\cdot 100\cdot 6,75=160+135=295$ triệu đồng — khớp đề bài.

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(u;f(u))$ trên đường cong (vườn) đến điểm $N(x;g(x))$ trên đường nhựa, $x>2$, với $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$.

Với khoảng cách cực tiểu nằm trong (không ở biên), vectơ $\overrightarrow{MN}$ phải vuông góc với tiếp tuyến tại cả hai đường, tức $f^{\prime }(u)=g^{\prime }(x)$ và $\overrightarrow{MN}$ theo pháp tuyến của $f$.

Ta có $f^{\prime }(u)=-3u^2+6u$, $g^{\prime }(x)=\frac{-3}{(x-2{)}^2}$. Điều kiện $f^{\prime }(u)=g^{\prime }(x)$:
$$3u^2-6u=\frac{3}{(x-2{)}^2}\Rightarrow (x-2{)}^2=\frac{1}{(u-1{)}^2-1}.$$
Điều kiện thứ hai: $x-u=(g(x)-f(u))\cdot \frac{3}{(x-2{)}^2}=(g(x)-f(u))\cdot 3[(u-1{)}^2-1]$.

Giải hệ bằng phương pháp số (chia đôi): thử $u=2,3692$ thì $(u-1{)}^2-1=0,874709$, $x-2=1,069261$, $x=3,069261$, $g(x)=3,80568$, $f(u)=3,53970$, kiểm tra: vế trái $x-u=0,70006$, vế phải $(g-f)\cdot 2,62413=0,69796$ — hai vế gần bằng nhau, nghiệm $u\approx 2,3693$, $x\approx 3,0693$.

Khi đó $g(x)-f(u)\approx 0,2661$, $x-u\approx 0,7000$:
$$MN=\sqrt{0,7000^2+0,2661^2}=\sqrt{0,5608}\approx 0,7489\text{ (đơn vị trục)}.$$
Đổi ra mét (mỗi đơn vị $=10m$): $MN\approx 7,49m$.

Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$ là $7,49$ mét, trùng với đáp án của đề.