Bài 2: (1 điểm)

a) Cho $\log 2=\alpha$, $\log 3=\beta$. Hãy biểu thị ${\log }_{6}12$ theo $\alpha$ và $\beta$.

b) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $4a+c>8+2b$ và $a+b+c<-1$. Chứng minh rằng phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2:

a) Ta có ${\log }_{6}12=\frac{\log 12}{\log 6}=\frac{\log (4\cdot 3)}{\log (2\cdot 3)}=\frac{2\log 2+\log 3}{\log 2+\log 3}=\frac{2\alpha +\beta }{\alpha +\beta }$.

b) Xét $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$.

• Thay $x=-2$: $f(-2)=-8+4a-2b+c=(4a+c-2b-8)>0$ vì giả thiết $4a+c>8+2b$.

• Thay $x=1$: $f(1)=1+a+b+c<0$ vì giả thiết $a+b+c<-1$.

Do $f(-2)>0$, $f(1)<0$ và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, theo định lý giá trị trung gian phương trình $f(x)=0$ có nghiệm $x_1\in (-2;1)$.

• Vì hệ số dẫn của $f$ bằng $1>0$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. Do đó tồn tại $x_0<-2$ sao cho $f(x_0)<0$; kết hợp $f(-2)>0$ suy ra phương trình có nghiệm $x_2\in (x_0;-2)\subset (-\infty ;-2)$.

• Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$, tồn tại $x_3>1$ sao cho $f(x_3)>0$; kết hợp $f(1)<0$ suy ra phương trình có nghiệm $x_4\in (1;x_3)$.

Vậy phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ có ba nghiệm phân biệt thuộc ba khoảng rời nhau $(-\infty ;-2)$, $(-2;1)$, $(1;+\infty )$, tức có đúng ba nghiệm phân biệt. Đpcm.