Cho $a$ là số thực dương. Biểu thức $a^3\cdot \sqrt[3]{a^2}$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

Tập xác định của hàm số $y=\ln (2-x)$ là

Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho các số thực dương $a$, $b$ thỏa mãn $a^{\frac{7}{4}}<a^{\frac{8}{3}}$ và ${\log }_b\frac{\sqrt{5}}{2}>{\log }_b\frac{\sqrt{7}}{3}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có số đo bằng

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho hình chóp $S.ABC$, có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $SA\perp (ABC)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai số thực dương $a,b$ với $a\ne 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Tính tổng $S=1+\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\dots$

Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình vẽ?

Cho hàm số $y=f(x)=5^x$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$, $SA\perp (ABCD)$ và $AB=a$, $AD=a\sqrt{2}$, $SA=2a$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$.

Nhiệt độ sấy mít dẻo bằng máy sấy nhiệt được điều khiển tăng từ $30^{\circ }C$ mỗi phút tăng $3^{\circ }C$ trong 12 phút, sau đó giảm mỗi phút $1^{\circ }C$ trong 6 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo ${}^{\circ }C$) trong máy sấy nhiệt theo thời gian $t$ (tính theo phút) có dạng:

$$T(t)=\{\begin{array}{l}30+3t\text{ khi }0\le t\le 12\\ m-t\text{ khi }12<t\le 18\end{array}(m\text{ laˋ ha˘ˋng soˆˊ})$$

Để hàm số $T(t)$ liên tục tại điểm $t=12$ thì giá trị của $m$ bằng bao nhiêu?

Theo thống kê vào ngày 01/01/2023 dân số Việt Nam là 99.332.000 người, giả sử tốc độ tăng dân số tự nhiên là 0,85\%/năm. Nếu tốc độ tăng dân số này tiếp tục được duy trì ở những năm tiếp theo thì dân số Việt Nam sau $t$ năm kể từ năm 2023 được tính bởi công thức

$$P(t)=99,332(1+0,0085{)}^t$$ (đơn vị tính bằng triệu người)

Tổng số dân Việt Nam vào ngày 01/01/2030 bằng bao nhiêu triệu người? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 1: (1 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2-n+1}{n^2+2n-3}$.

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}$.

Bài 2: (1 điểm)

a) Cho $\log 2=\alpha$, $\log 3=\beta$. Hãy biểu thị ${\log }_{6}12$ theo $\alpha$ và $\beta$.

b) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $4a+c>8+2b$ và $a+b+c<-1$. Chứng minh rằng phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt.

Bài 3: (1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{3}$.

a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$.

b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$.