Bài 3: (1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{3}$.

a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$.

b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3:

a) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình thoi $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại $O$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Ta có: $BD\perp AC$, $BD\perp SA$, với $AC,SA\subset (SAC)$ và $AC\cap SA=A$. Vậy $BD\perp (SAC)$.

b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AO$ (hay $AC$) là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$ (với $O$ là giao của $AC$ và $BD$). Do đó góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDO}$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $SA=a\sqrt{3}$, $AD=a$, nên $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SDA}=60^{\circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$.