Bài 3. (1,0 điểm) Tại một trường THPT, câu lạc bộ Hóa học tổ chức cuộc thi “Pha chế hương vị tuổi học trò”. Mỗi đội được sử dụng tối đa 8 gam hương liệu, 14 lít nước và 180 gam đường để pha hai loại nước giải khát: Loại Kỷ niệm (K) và Loại Tự hào (T). Để pha 1 lít nước loại K cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Để pha 1 lít nước loại T cần 10 gam đường, 2 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước loại K được 60 điểm thưởng, mỗi lít loại T được 70 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi có tổng điểm thưởng cao nhất?

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lít nước loại K và T cần pha chế.
Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ sau:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 30x+10y\le 180\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}\text{hay }\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+y\le 18(\ast )\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}$$ (0,25 điểm)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, ta được miền ngũ giác $OABCD$ (lấy cả các điểm trên các cạnh của ngũ giác) với tọa độ các đỉnh là $O(0;0)$, $A(0;7)$, $B(2;6)$, $C(5;3)$, $D(6;0)$. [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1] (0,25 điểm)

Số điểm thưởng đội choi nhận được là $F(x;y)=60x+70y$ (điểm).
Tìm $x,y$ để $F(x;y)$ đạt giá trị lớn nhất.
$F(0;0)=0$, $F(0;7)=490$, $F(2;6)=540$, $F(5;3)=510$, $F(6;0)=360$ (0,25 điểm)

Giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ bằng 540 khi $x=2,y=6$.
Kết luận: Vậy cần pha chế 2 lít nước loại K và 6 lít nước loại T thì số điểm thưởng cao nhất. (0,25 điểm)