Biết ${\int }_1^e(3x^2+2x)\ln xdx=\frac{a}{b}{e}^3+\frac{e^2}{c}+\frac{5}{6}$, ($a,b,c\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $S=a+b+c$.

Đặt $u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx$; $dv=(3x^2+2x)dx\Rightarrow v=x^3+x^2$. Tích phân từng phần: $I=(x^3+x^2)\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e(x^2+x)dx=(e^3+e^2)-{\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]}_1^e=e^3+e^2-\left(\frac{e^3-1}{3}+\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{2}{3}{e}^3+\frac{e^2}{2}+\frac{5}{6}$. Đồng nhất hệ số: $a=2,b=3,c=2$. Do đó $S=a+b+c=2+3+2=7$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.