Biết điểm $M(0;4)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+a^2$. Tính $f(3)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$.
Vì điểm $M(0;4)$ thuộc đồ thị hàm số nên $f(0)=a^2=4\iff a=\pm 2$.
Vì $M(0;4)$ là điểm cực trị của hàm số nên $f^{\prime }(0)=b=0$.
Để $x=0$ là điểm cực đại thì $f^{\prime \prime }(0)<0$:
Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=2a<0\iff a<0$.
Do đó ta chọn $a=-2$.
Hàm số là $f(x)=x^3-2x^2+4$.
Tính giá trị tại $x=3$:
$f(3)=3^3-2(3^2)+4=27-18+4=13$.
Chọn D.