Lập các số tự nhiên có 7 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Tính xác suất để số lập được thỏa mãn: các chữ số 1, 2, 3 có mặt hai lần, chữ số 4 có mặt 1 lần đồng thời các chữ số lẻ đều nằm ở các vị trí lẻ (tính từ trái qua phải).

Số các số tự nhiên có 7 chữ số lập từ các chữ số {1, 2, 3, 4} là $n(\Omega )=4^7=2^{14}=16384$.
Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất:
Một số có 7 vị trí $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7$.
Các vị trí lẻ gồm 4 vị trí: $a_1,a_3,a_5,a_7$.
Các vị trí chẵn gồm 3 vị trí: $a_2,a_4,a_6$.
Theo yêu cầu:
- Các chữ số lẻ là 1 và 3, mỗi chữ số xuất hiện 2 lần (tổng cộng 4 chữ số) đều phải nằm ở các vị trí lẻ.
Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí lẻ để xếp hai chữ số 1 có $C_4^2$ cách.
Hai vị trí lẻ còn lại xếp hai chữ số 3 có 1 cách.
- Các vị trí chẵn (3 vị trí) dành cho hai chữ số 2 và một chữ số 4.
Chọn 2 vị trí trong 3 vị trí chẵn để xếp hai chữ số 2 có $C_3^2$ cách.
Vị trí chẵn còn lại xếp chữ số 4 có 1 cách.
Số kết quả thuận lợi cho $A$ là:
$n(A)=C_4^2\times 1\times C_3^2\times 1=6\times 3=18$.
Xác suất của biến cố là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{18}{2^{14}}=\frac{9}{2^{13}}=\frac{9}{8192}$.
Chọn A.