Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{mx+5}{x-m}$ trên đoạn $[0;1]$ bằng $-7$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{m\}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-m^2-5}{(x-m{)}^2}<0,\forall x\ne m$.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Để hàm số liên tục trên $[0;1]$ thì $m\notin [0;1]$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0;1]$ đạt tại $x=1$:
${\min }_{[0;1]}f(x)=f(1)=\frac{m+5}{1-m}=-7\iff m+5=-7(1-m)\iff m+5=-7+7m\iff 6m=12\iff m=2$.
Giá trị $m=2$ thỏa mãn $m\notin [0;1]$ và $2\in (0;2]$.
Chọn C.