Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=mx+\frac{36}{x+1}$ trên $[0;3]$ bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có $y^{\prime }=m-\frac{36}{(x+1{)}^2}$.
- Với $m\le 0$: $y^{\prime }<0$ với mọi $x\in [0;3]$, hàm số nghịch biến trên $[0;3]$ nên ${\min }_{[0;3]}y=y(3)=3m+9=20\iff m=\frac{11}{3}>0$ (loại).
- Với $m>0$: $y^{\prime }=0\iff (x+1{)}^2=\frac{36}{m}\iff x+1=\frac{6}{\sqrt{m}}$ (do $x\in [0;3]$) $\iff x=-1+\frac{6}{\sqrt{m}}$.
+ Nếu $-1+\frac{6}{\sqrt{m}}\in [0;3]\iff 1\le \frac{6}{\sqrt{m}}\le 4\iff \frac{9}{4}\le m\le 36$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất là ${\min }_{[0;3]}y=y\left(-1+\frac{6}{\sqrt{m}}\right)=m\left(-1+\frac{6}{\sqrt{m}}\right)+\frac{36}{6/\sqrt{m}}=-m+12\sqrt{m}$.
Theo giả thiết: $-m+12\sqrt{m}=20\iff m-12\sqrt{m}+20=0\iff [\begin{array}{c}\sqrt{m}=2\\ \sqrt{m}=10\end{array}\iff [\begin{array}{c}m=4\text{ (thỏa ma˜n }\frac{9}{4}\le m\le 36)\\ m=100\text{ (loại)}\end{array}$.
+ Nếu $-1+\frac{6}{\sqrt{m}}>3\iff m<\frac{9}{4}$, hàm số nghịch biến trên $[0;3]$, giá trị nhỏ nhất là $y(3)=3m+9=20\iff m=\frac{11}{9}$ (loại do $\frac{11}{9}<\frac{9}{4}$ nhưng $y(3)=20$ không phải nhỏ nhất).
Vậy $m=4\in (2;4]$.