Câu 1. (2,0 điểm).
a. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$.
b. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y=\frac{\sin x-\tan x}{\sin x+\cot x}$.

a. Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ xác định khi và chỉ khi $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\iff 2x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. [0,5 điểm]

Suy ra $x\ne \frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. [0,5 điểm]

b. Hàm số xác định khi
$$\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\\ \sin x+\cot x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\\ {\sin }^{2}x+\cos x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\iff x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$$ [0,5 điểm]

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$ ; $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

Ta có: $f(-x)=\frac{\sin (-x)-\tan (-x)}{\sin (-x)+\cot (-x)}=\frac{-\sin x+\tan x}{-\sin x-\cot x}=\frac{\sin x-\tan x}{\sin x+\cot x}=f(x)$ [0,5 điểm]

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.