Câu 3. (4,0 điểm).
a. Tìm số hạng thứ 10 và xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n=\frac{1}{n^2+n}$.
b. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 mét. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

a. Số hạng thứ 10 của dãy số là $u_{10}=\frac{1}{10^2+10}=\frac{1}{110}$ | 1,0 điểm
Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1{)}^2+(n+1)}-\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{-2}{n(n+1)(n+2)}<0$ với $n\ge 1$.
Do đó $(u_n)$ là dãy giảm. | 1,0 điểm
b. Gọi $r_i$ là khoảng cách lần rơi thứ $i$. Ta có $r_1=81$, $r_2=\frac{2}{3}.81$, …, $r_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}.81$, …
Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ $n$ bằng $81.\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-\frac{2}{3}}$. | 1,0 điểm
Gọi $t_i$ là khoảng cách lần nảy thứ $i$. Ta có $t_1=\frac{2}{3}.81$, $t_2=\left(\frac{2}{3}\right).\frac{2}{3}81$, …, $t_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}\frac{2}{3}.81$, …
Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ $n$ bằng $\frac{2}{3}.81.\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$. | 0,5 điểm
Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng $S=\lim \left(81.\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}.81.\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}\right)$

$=81.\frac{1-0}{1-\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}.81.\frac{1-0}{1-\frac{2}{3}}=405(m).$ | 0,5 điểm