Câu 1 (7,0 điểm). Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=-2;u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n^2-8}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a. Chứng minh rằng $-2\le u_n\le -\sqrt[3]{4}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b. Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ tồn tại giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $f(x)=\sqrt[3]{x^2-8}$. Trên $[-2,-\sqrt[3]{4}]$ ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{3(x^2-8{)}^{2/3}}<0$ nên $f$ nghịch biến, và $|f^{\prime }(x)|\le \frac{4}{3\sqrt[3]{16}}<1$.

**a.** Quy nạp: $u_1=-2$ thỏa. Giả sử $-2\le u_n\le -\sqrt[3]{4}$. Khi đó $u_n^2\in [\sqrt[3]{16},4]$ nên $u_n^2-8\in [\sqrt[3]{16}-8,-4]$, suy ra $u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n^2-8}\in [\sqrt[3]{\sqrt[3]{16}-8},-\sqrt[3]{4}]$. Vì $\sqrt[3]{16}-8>-8$ nên $\sqrt[3]{\sqrt[3]{16}-8}>-2$. Vậy $-2\le u_{n+1}\le -\sqrt[3]{4}$, đpcm.

**b.** Xét phương trình $f(x)=x$, tức $x^3-x^2+8=0$. Ta có $(-2{)}^3-(-2{)}^2+8=-4<0$ và $(-\sqrt[3]{4}{)}^3-(-\sqrt[3]{4}{)}^2+8=-4-\sqrt[3]{16}+8>0$, nên tồn tại duy nhất (do $x^3-x^2+8$ có đạo hàm $3x^2-2x=x(3x-2)>0$ trên $x<0$) nghiệm $\alpha \in (-2,-\sqrt[3]{4})$, tức $f(\alpha )=\alpha$.

Vì $f$ nghịch biến: nếu $u_n<\alpha$ thì $u_{n+1}=f(u_n)>f(\alpha )=\alpha$; nếu $u_n>\alpha$ thì $u_{n+1}<\alpha$. Vì $u_1=-2<\alpha$, dãy lần lượt qua lại hai bên $\alpha$: các số hạng lẻ $u_{2k+1}<\alpha$, các số hạng chẵn $u_{2k}>\alpha$.

Xét $g=f\circ f$, tăng ngặt (tích của hai hàm nghịch biến dương) và $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)\le {\left(\frac{4}{3\sqrt[3]{16}}\right)}^2<1$. Xét $h(x)=g(x)-x$: $h^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-1<0$ nên $h$ nghịch biến, $h(\alpha )=g(\alpha )-\alpha =0$. Do đó:
- với $x<\alpha$: $h(x)>0$, tức $g(x)>x$;
- với $x>\alpha$: $h(x)<0$, tức $g(x)<x$.

Suy ra dãy lẻ $(u_{2k+1})$ tăng ngặt và bị chặn trên bởi $\alpha$; dãy chẵn $(u_{2k})$ giảm ngặt và bị chặn dưới bởi $\alpha$. Vậy cả hai dãy con hội tụ, giới hạn $L$ thỏa $L=g(L)$. Nếu $g(L)=L$ với $L\in [-2,-\sqrt[3]{4}]$, đặt $y=f(L)$ thì $f(y)=L$; nếu $y>L$ thì do $f$ nghịch biến $L=f(y)<f(L)=y$, vô lý tương tự khi $y<L$, nên $y=L$, tức $L=f(L)$, suy ra $L=\alpha$ (nghiệm duy nhất trên đoạn).

Hai dãy con lẻ và chẵn cùng hội tụ về $\alpha$, vậy dãy $(u_n)$ hội tụ đến $\alpha =\lim u_n$, tức tồn tại giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$.