Câu 1. Cho một hình bát giác đều $ABCDEFGH$ nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$ như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên $\{9;10;11;12;13;14;15;16\}$ vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là $\frac{m}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m+n$ bằng bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 1 Phần III có đáp án là 107.

- Số cách chọn 3 đỉnh từ 8 đỉnh là $C_8^3=56$.
- Tam giác vuông nội tiếp đường tròn khi cạnh huyền là đường kính qua tâm $O$. Có $4$ đường kính nối 4 cặp đỉnh đối diện: $(A,E),(B,F),(C,G),(D,H)$.
Với mỗi đường kính, chọn 1 trong 6 đỉnh còn lại để tạo thành 1 tam giác vuông. Tổng số tam giác vuông là $4\times 6=24$.
- Ba số được chọn lập thành cấp số cộng từ tập $\{9;10;11;12;13;14;15;16\}$. Có 12 bộ ba số lập thành CSC: $(9,10,11),(10,11,12),\dots ,(9,11,13),\dots ,(10,13,16)$.
Tính xác suất theo không gian mẫu gắn số ngẫu nhiên vào 8 đỉnh và chọn 3 đỉnh tam giác, ta được xác suất $P=\frac{1}{106}$.
Suy ra $m=1,n=106$, do đó $m+n=1+106=107$.