Câu 2. (3,0 điểm). Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $P(1)=2025$ và $(x-1{)}^2.P(x)=x(x+1).P(x-1)$, với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $Q(x)=\frac{P(x)}{x^2(x+1)}$ (xét như phân thức hữu tỉ). Vì $P(x-1)=(x-1{)}^{2}xQ(x-1)$, phương trình trở thành $(x-1{)}^2{x}^2(x+1)Q(x)=x(x+1)(x-1{)}^{2}xQ(x-1)$. Với mọi $x\ne 0,\pm 1$ ta rút gọn được $Q(x)=Q(x-1)$, và do hai vế là đa thức nên đẳng thức $Q(x)=Q(x-1)$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Suy ra $Q$ nhận mọi giá trị thực làm nghiệm của $Q(t)-Q(0)=0$, tức $Q$ là hằng số $a$. Vậy $P(x)=a{x}^2(x+1)$. Kiểm tra: $(x-1{)}^2\cdot a{x}^2(x+1)=x(x+1)\cdot a(x-1{)}^{2}x$ đúng với mọi $x$. Điều kiện $P(1)=2a=2025$ cho $a=\frac{2025}{2}$. Vậy $P(x)=\frac{2025}{2}{x}^2(x+1)$ là đa thức duy nhất thỏa mãn.