Câu 6. (3,0 điểm). Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Question

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: (AI giải đề cho tôi) Đặt S=a 2+b 2+c 2, chú ý ab+bc+ca=3 nên S 3. Bước 1: Cauchy–Schwarz dạng Engel: Bước 2: Chứng minh a 4+b 4+c 4 a 3+b 3+c 3. Đặt T=a 4+b 4+c 4. Theo power mean (Hölder): Mặt khác T (a 2+b 2+c 2) 2 3 9 3 =3, suy ra T 1/4 3 1/4 , do đó Bước 3: Do đó P 1.$ Đẳng thức: cần T=3 và a 2+b 2+c 2=3, tức a=b=c=1 (thỏa ab+bc+ca=3); khi đó điều kiện Cauchy a+2b 2=b+2c 2=c+2a 2=3 cũng thỏa mãn, và P= 3 3 =1. Vậy P=1, đạt tại a=b=c=1$.

Câu 6. (3,0 điểm). Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + b c + c a = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a ^{2}}{a + 2 b ^{2}} + \frac{b ^{2}}{b + 2 c ^{2}} + \frac{c ^{2}}{c + 2 a ^{2}} .$

Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh THPT Toán 10 Đợt 2 2024-2025

Các câu hỏi khác trong đề (6 câu)

Câu 6. (3,0 điểm). Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+2b2a2​+b+2c2b2​+c+2a2c2​.

Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh THPT Toán 10 Đợt 2 2024-2025

Các câu hỏi khác trong đề (6 câu)

Câu 6. (3,0 điểm). Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + b c + c a = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a ^{2}}{a + 2 b ^{2}} + \frac{b ^{2}}{b + 2 c ^{2}} + \frac{c ^{2}}{c + 2 a ^{2}} .$