Câu 2 (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và cạnh $BC=2a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$.

a) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

c) Gọi $\alpha$ là số đo góc nhị diện $\left[C,A{A}^{\prime },B\right]$. Tính $\cos \alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $BC=2a$ nên $AB=AC=a\sqrt{2}$, diện tích $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}=a^2$. Vì $AB=AC$ và $H$ là trung điểm $BC$ nên $AH\perp BC$ và $AH=\frac{BC}{2}=a$.

a) Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=a^2\cdot a\sqrt{3}=a^3\sqrt{3}$.

b) Ta có $BC\perp AC$ (vuông tại $A$) và $BC\perp A{A}^{\prime }$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$), mà $AC$ và $A{A}^{\prime }$ cắt nhau trong mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, suy ra $BC\perp (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ tại $C$. Vậy $d(B,(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=BC=2a$.

c) Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $A{A}^{\prime }$ vuông với mọi đường thẳng trong $(ABC)$. Mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ cắt $(ABC)$ theo $AC$, mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ cắt $(ABC)$ theo $AB$; tại điểm $A$ trên cạnh $A{A}^{\prime }$, các đường vuông góc với $A{A}^{\prime }$ trong hai nửa mặt phẳng lần lượt là $AC$ và $AB$. Do đó góc nhị diện $\alpha =\angle CAB=90^{\circ }$ và $\cos \alpha =0$.