Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:

a) $\cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$.

b) $3{\log }_3\left(x-1\right)-{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(x-5\right)}^3=3$.

Câu 2 (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và cạnh $BC=2a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$.

a) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

c) Gọi $\alpha$ là số đo góc nhị diện $\left[C,A{A}^{\prime },B\right]$. Tính $\cos \alpha$.

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (tính bằng mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm $t$ (tính bằng giờ, $0\le t<24$) trong ngày được xác định bởi công thức $h(t)=2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+5$. Hãy xác định khoảng thời gian trong ngày mà mực nước trong kênh tăng dần.

b) Một lớp học có 35 học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộng $n$ câu lạc bộ. Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có ít nhất 15 học sinh tham gia và hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ thì $n\le 5$.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi:

$$x_1=3;x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+2+\sqrt{x_n^2-4}\right),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

a) Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$.

b) Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\left(x_i-2\right)}^2}$.

Câu 5 (2,0 điểm). Cho $x,y$ là các số thực dương thoả mãn $2\left(x^{2}y+x{y}^2\right)=x+y+2xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2+50xy$.