Câu 3 (4,0 điểm).
a) Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu (tính bằng mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm (tính bằng giờ, ) trong ngày được xác định bởi công thức . Hãy xác định khoảng thời gian trong ngày mà mực nước trong kênh tăng dần.
b) Một lớp học có 35 học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộng câu lạc bộ. Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có ít nhất 15 học sinh tham gia và hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ thì .
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu (tính bằng mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm (tính bằng giờ, ) trong ngày được xác định bởi công thức . Hãy xác định khoảng thời gian trong ngày mà mực nước trong kênh tăng dần.
b) Một lớp học có 35 học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộng câu lạc bộ. Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có ít nhất 15 học sinh tham gia và hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ thì .
a) Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu (tính bằng mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm (tính bằng giờ, ) trong ngày được xác định bởi công thức . Hãy xác định khoảng thời gian trong ngày mà mực nước trong kênh tăng dần.
b) Một lớp học có 35 học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộng câu lạc bộ. Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có ít nhất 15 học sinh tham gia và hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ thì .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) h'(t) = -2·(π/12)·sin(πt/12 + π/3) = -(π/6)sin(πt/12 + π/3). Mực nước tăng dần khi h'(t) > 0, tức sin(πt/12 + π/3) < 0. Điều này tương đương π < πt/12 + π/3 < 2π (xét trong chu kỳ đầu, với 0 ≤ t < 24 thì πt/12 + π/3 ∈ [π/3, 7π/3)). Giải: π + π/3... cụ thể π - π/3 < πt/12 < 2π - π/3, tức 2π/3 < πt/12 < 5π/3, suy ra 8 < t < 20. Vậy mực nước tăng dần trên khoảng (8; 20) (giờ). Kiểm tra: tại t=8, πt/12+π/3 = π (cos = -1, mức thấp nhất); tại t=20, arg = 2π (cos = 1, mức cao nhất) — hợp lý với việc tăng dần giữa hai cực trị.
b) Với mỗi câu lạc bộ i, gọi s_i là số học sinh tham gia, s_i ≥ 15. Vì hai học sinh bất kỳ cùng tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ, mỗi cặp học sinh được đếm trong nhiều nhất một câu lạc bộ, nên tổng số cặp (học sinh, câu lạc bộ chứa cặp đó) không vượt quá tổng số cặp học sinh: Σ_{i=1}^n C(s_i, 2) ≤ C(35, 2) = 595. Mặt khác, hàm C(s,2) = s(s-1)/2 đồng biến với s ≥ 1, nên s_i ≥ 15 cho C(s_i, 2) ≥ C(15, 2) = 105. Do đó 105n ≤ Σ C(s_i,2) ≤ 595, suy ra n ≤ 595/105 = 119/21 ≈ 5,67, mà n nguyên nên n ≤ 5. Đpcm.
a) h'(t) = -2·(π/12)·sin(πt/12 + π/3) = -(π/6)sin(πt/12 + π/3). Mực nước tăng dần khi h'(t) > 0, tức sin(πt/12 + π/3) < 0. Điều này tương đương π < πt/12 + π/3 < 2π (xét trong chu kỳ đầu, với 0 ≤ t < 24 thì πt/12 + π/3 ∈ [π/3, 7π/3)). Giải: π + π/3... cụ thể π - π/3 < πt/12 < 2π - π/3, tức 2π/3 < πt/12 < 5π/3, suy ra 8 < t < 20. Vậy mực nước tăng dần trên khoảng (8; 20) (giờ). Kiểm tra: tại t=8, πt/12+π/3 = π (cos = -1, mức thấp nhất); tại t=20, arg = 2π (cos = 1, mức cao nhất) — hợp lý với việc tăng dần giữa hai cực trị.
b) Với mỗi câu lạc bộ i, gọi s_i là số học sinh tham gia, s_i ≥ 15. Vì hai học sinh bất kỳ cùng tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ, mỗi cặp học sinh được đếm trong nhiều nhất một câu lạc bộ, nên tổng số cặp (học sinh, câu lạc bộ chứa cặp đó) không vượt quá tổng số cặp học sinh: Σ_{i=1}^n C(s_i, 2) ≤ C(35, 2) = 595. Mặt khác, hàm C(s,2) = s(s-1)/2 đồng biến với s ≥ 1, nên s_i ≥ 15 cho C(s_i, 2) ≥ C(15, 2) = 105. Do đó 105n ≤ Σ C(s_i,2) ≤ 595, suy ra n ≤ 595/105 = 119/21 ≈ 5,67, mà n nguyên nên n ≤ 5. Đpcm.