Câu 5 (2,0 điểm). Cho $x,y$ là các số thực dương thoả mãn $2\left(x^{2}y+x{y}^2\right)=x+y+2xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2+50xy$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=x+y$, $p=xy$ ($s>0$, $0<p\le s^2/4$). Điều kiện $2(x^{2}y+x{y}^2)=x+y+2xy$ trở thành $2ps=s+2p$, suy ra $2p(s-1)=s$ nên $p=\frac{s}{2(s-1)}$ với $s>1$. Biểu thức $P=x^2+y^2+50xy=s^2-2p+50p=s^2+48p=s^2+\frac{24s}{s-1}$. Xét $f(s)=s^2+\frac{24s}{s-1}$ trên $(1;+\infty )$: $f^{\prime }(s)=2s-\frac{24}{(s-1{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(s)=0\iff s(s-1{)}^2=12\iff s^3-2s^2+s-12=0\iff (s-3)(s^2+s+4)=0\iff s=3$. Vì $g(s)=s(s-1{)}^2$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ (có đạo hàm $(s-1)(3s-1)>0$), phương trình $g(s)=12$ có nghiệm duy nhất $s=3$; dấu của $f^{\prime }$: âm khi $1<s<3$, dương khi $s>3$, nên $f$ đạt GTNN tại $s=3$: $P_{\min }=9+\frac{24\cdot 3}{2}=45$. Kiểm tra khả thi: với $s=3$, $p=\frac{3}{2}$, phương trình $t^2-3t+\frac{3}{2}=0$ có $\Delta =9-6=3>0$, hai nghiệm thực dương $x,y=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$, thỏa mãn. Vậy $\min P=45$.