Câu 6 (3,0 điểm). Xét hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thoả mãn

$$f\left(2x+f(y)\right)=2(x+y)+f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

a) Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ là đơn ánh.

b) Tìm tất cả các hàm số $f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Giả sử $f(a)=f(b)$. Áp dụng phương trình hàm với $y=a$ và $y=b$ (cùng $x$): $f(2x+f(a))=2(x+a)+f(x)+f(a)$ và $f(2x+f(b))=2(x+b)+f(x)+f(b)$. Vì $f(a)=f(b)$ nên vế trái bằng nhau, suy ra $2(x+a)+f(x)+f(a)=2(x+b)+f(x)+f(b)\Rightarrow a=b$. Vậy $f$ đơn ánh.

b) Đổi vai trò $x,y$ trong phương trình: $f(2y+f(x))=2(x+y)+f(x)+f(y)$. So sánh với phương trình gốc ta được $f(2x+f(y))=f(2y+f(x))$ với mọi $x,y$. Do $f$ đơn ánh nên $2x+f(y)=2y+f(x)$, tức $f(x)-2x=f(y)-2y$ với mọi $x,y$. Vậy tồn tại hằng số $c$ sao cho $f(x)=2x+c$. Thay vào phương trình: vế trái $f(2x+f(y))=f(2x+2y+c)=4x+4y+3c$; vế phải $2(x+y)+(2x+c)+(2y+c)=4x+4y+2c$. Suy ra $3c=2c\Rightarrow c=0$. Thử lại: $f(x)=2x$ thỏa mãn. Vậy $f(x)=2x$ là hàm duy nhất.