Câu 2. (5,0 điểm)

a) Cho hàm số $y=\sqrt{\frac{m{x}^2-2mx-m-6}{(m-2)x^2-2mx-1}}$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả giá trị $m$ để hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó luôn có mặt các chữ số 1 và 2?

a) Yêu cầu bài toán $\iff \frac{m{x}^2-2mx-m-6}{(m-2)x^2-2mx-1}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. (1)
Đặt $f(x)=m{x}^2-2mx-m-6$ và $g(x)=(m-2)x^2-2mx-1$.
Đầu tiên phải có $g(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$. (2)
TH1: $m=2$. Khi đó $g(x)=-4x-1$: không thỏa mãn.
TH2: $m\ne 2$. Khi đó $(2)\iff {\Delta }_g^{\prime }<0\iff m^2+m-2<0\iff -2<m<1$. (*)
Lúc này $m-2<0$ và ${\Delta }_g^{\prime }<0$ nên $g(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó $(1)\iff f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Với $m=0$ thì $f(x)=-6<0,\forall x\in \mathbb{R}$: thỏa mãn.
Xét $m\ne 0$. Khi đó $f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ {\Delta }_f^{\prime }\le 0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ m^2+m(m+6)\le 0\end{array}\iff -3\le m<0$.
Tóm lại ta có $f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff -3\le m\le 0$.
Kết hợp (*) suy ra các giá trị $m$ thỏa mãn bài toán là $-2<m\le 0$.

b) Gọi số thỏa mãn là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$.
Trường hợp 1: $a_6=1$.
Khả năng 1: Số có chữ số 0.
Chọn vị trí cho số 0: có 4 cách (khác vị trí $a_1$, $a_6$).
Chọn vị trí cho số 2: có 4 cách (khác vị trí số 0 và $a_6$).
Chọn 3 chữ số xếp vào 3 vị trí còn lại: có $A_7^3$ cách (khác 0, 1, 2).
$\Rightarrow$ có $\mathrm{4.4.}{A}_7^3=3360$ số.
Khả năng 2: Số không có chữ số 0.
Chọn vị trí cho số 2: có 5 cách (khác vị trí $a_6$).
Chọn 4 chữ số xếp vào 4 vị trí còn lại: có $A_7^4$ cách (khác 0, 1, 2).
$\Rightarrow$ có $5.A_7^4=4200$ số.
Do đó trường hợp này có $3360+4200=7560$ số.
Trường hợp 2: $a_6\ne 1$.
Khả năng 1: Số có chữ số 0.
Chọn $a_6$: có 4 cách (lẻ, khác 1).
Chọn vị trí cho số 0: có 4 cách (khác vị trí $a_1$, $a_6$).
Chọn vị trí cho các số 1, 2: có $A_4^2$ cách (khác vị trí số 0 và $a_6$).
Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại: có $A_6^2$ cách (khác 0, 1, 2, $a_6$).
$\Rightarrow$ có $\mathrm{4.4.}{A}_4^2.A_6^2=5760$ số.
Khả năng 2: Số không có chữ số 0.
Chọn $a_6$: có 4 cách (lẻ, khác 1).
Chọn vị trí cho các số 1, 2: có $A_5^2$ cách (khác vị trí $a_6$).
Chọn 3 chữ số xếp vào 3 vị trí còn lại: có $A_6^3$ cách (khác 0, 1, 2, $a_6$).
$\Rightarrow$ có $4.A_5^2.A_6^3=9600$ số.
Do đó trường hợp này có $5760+9600=15360$ số.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $7560+15360=22920$ số.