Câu 4. (6,0 điểm)
a) Cho tam giác vuông tại , có và đường cao . Trên tia lấy điểm sao cho , đường thẳng vuông góc với tại cắt và lần lượt tại và . Biết , phương trình và đường thẳng đi qua điểm . Viết phương trình đường thẳng và tìm tọa độ điểm .
b) Bạn Mai giao cho ba bạn An, Bình, Cường 3 đoạn dây không giãn có độ dài lần lượt là , , . Bốn bạn chơi trò chơi như sau: Bạn Mai giữ ba đầu mút của ba đoạn dây đó tại cùng một điểm, ba đầu mút còn lại được các bạn An, Bình, Cường kéo căng tạo thành ba đoạn thẳng sao cho vị trí của ba bạn này là ba đỉnh của một tam giác vuông cân tại vị trí của Bình, đồng thời Mai thuộc miền trong tam giác (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích của tam giác vuông cân đó.
Câu 4. (6,0 điểm)
a) Cho tam giác vuông tại , có và đường cao . Trên tia lấy điểm sao cho , đường thẳng vuông góc với tại cắt và lần lượt tại và . Biết , phương trình và đường thẳng đi qua điểm . Viết phương trình đường thẳng và tìm tọa độ điểm .
b) Bạn Mai giao cho ba bạn An, Bình, Cường 3 đoạn dây không giãn có độ dài lần lượt là , , . Bốn bạn chơi trò chơi như sau: Bạn Mai giữ ba đầu mút của ba đoạn dây đó tại cùng một điểm, ba đầu mút còn lại được các bạn An, Bình, Cường kéo căng tạo thành ba đoạn thẳng sao cho vị trí của ba bạn này là ba đỉnh của một tam giác vuông cân tại vị trí của Bình, đồng thời Mai thuộc miền trong tam giác (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích của tam giác vuông cân đó.
a) Cho tam giác vuông tại , có và đường cao . Trên tia lấy điểm sao cho , đường thẳng vuông góc với tại cắt và lần lượt tại và . Biết , phương trình và đường thẳng đi qua điểm . Viết phương trình đường thẳng và tìm tọa độ điểm .
b) Bạn Mai giao cho ba bạn An, Bình, Cường 3 đoạn dây không giãn có độ dài lần lượt là , , . Bốn bạn chơi trò chơi như sau: Bạn Mai giữ ba đầu mút của ba đoạn dây đó tại cùng một điểm, ba đầu mút còn lại được các bạn An, Bình, Cường kéo căng tạo thành ba đoạn thẳng sao cho vị trí của ba bạn này là ba đỉnh của một tam giác vuông cân tại vị trí của Bình, đồng thời Mai thuộc miền trong tam giác (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích của tam giác vuông cân đó.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
a)
Vì và nên là trực tâm tam giác , dẫn tới .
Từ đó phương trình .
Gọi thì .
Tứ giác nội tiếp nên (do vuông cân tại ) .
Do đó tam giác vuông cân tại .
Suy ra .
Có . Khi đó
.
) Với thì .
Khi đó đi qua nên phương trình .
Vì nên : loại vì khi đó khác phía so với .
) Với thì .
Khi đó đi qua nên phương trình .
Vì nên .
Ta cũng viết được phương trình .
Có đi qua và vuông góc với nên phương trình .
Vì nên . Thử lại thỏa mãn.
b)
Đặt . Khi đó ta có
;
do nhọn.
Vì nên
Với điều kiện nên thoả mãn.
Diện tích tam giác là .
Vì và nên là trực tâm tam giác , dẫn tới .
Từ đó phương trình .
Gọi thì .
Tứ giác nội tiếp nên (do vuông cân tại ) .
Do đó tam giác vuông cân tại .
Suy ra .
Có . Khi đó
.
) Với thì .
Khi đó đi qua nên phương trình .
Vì nên : loại vì khi đó khác phía so với .
) Với thì .
Khi đó đi qua nên phương trình .
Vì nên .
Ta cũng viết được phương trình .
Có đi qua và vuông góc với nên phương trình .
Vì nên . Thử lại thỏa mãn.
b)
Đặt . Khi đó ta có
;
do nhọn.
Vì nên
Với điều kiện nên thoả mãn.
Diện tích tam giác là .