Câu 1. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình $2x^3-x+1=3\left(x^2-1\right)\sqrt{2x-1}$.

b) Một nhà máy dự định sản xuất 2 loại sản phẩm I và II. Khảo sát cho thấy mỗi sản phẩm loại I lãi 20 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại II lãi 70 triệu đồng. Để sản xuất ra một sản phẩm loại I cần 2 tấn nguyên liệu loại A và 1 tấn nguyên liệu loại B. Để sản xuất ra một sản phẩm loại II cần 1 tấn nguyên liệu loại A, 2 tấn nguyên liệu loại B và 1 tấn nguyên liệu loại C. Nhà máy đó dự trữ được 8 tấn nguyên liệu loại A, 7 tấn nguyên liệu loại B và 3 tấn nguyên liệu loại C. Hỏi nhà máy cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để số tiền lãi thu được là nhiều nhất?

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Cho hàm số $y=\sqrt{\frac{m{x}^2-2mx-m-6}{(m-2)x^2-2mx-1}}$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả giá trị $m$ để hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó luôn có mặt các chữ số 1 và 2?

Câu 3. (2,0 điểm)

Ông Nam có 25 phòng trọ cho thuê, giá thuê của tất cả các phòng đều như nhau. Nếu cho thuê mỗi phòng với giá 3 triệu đồng một tháng thì mọi phòng đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá thuê phòng thêm 200 nghìn đồng một tháng thì lại có thêm 1 phòng bị bỏ trống không có người thuê. Biết rằng hàng tháng, ngoài tiền thuê phòng thì ông Nam còn thu được thêm 200 nghìn đồng mỗi phòng từ việc cung cấp điện, nước và các nhu cầu sinh hoạt khác cho những người thuê phòng. Hỏi số tiền lớn nhất mỗi tháng mà ông Nam có thể thu được từ việc cho thuê phòng trọ là bao nhiêu?

Câu 4. (6,0 điểm)

a) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AC>AB$ và đường cao $AH$. Trên tia $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD=HA$, đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $I$ và $K$. Biết $K(-1;3)$, phương trình $(CI):3x+y+5=0$ và đường thẳng $BC$ đi qua điểm $M(-11;3)$. Viết phương trình đường thẳng $BK$ và tìm tọa độ điểm $A$.

b) Bạn Mai giao cho ba bạn An, Bình, Cường 3 đoạn dây không giãn có độ dài lần lượt là $1(m)$, $2(m)$, $3(m)$. Bốn bạn chơi trò chơi như sau: Bạn Mai giữ ba đầu mút của ba đoạn dây đó tại cùng một điểm, ba đầu mút còn lại được các bạn An, Bình, Cường kéo căng tạo thành ba đoạn thẳng sao cho vị trí của ba bạn này là ba đỉnh của một tam giác vuông cân tại vị trí của Bình, đồng thời Mai thuộc miền trong tam giác (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích của tam giác vuông cân đó.

Xét một quân cờ đặt ở ô trung tâm của bảng ô vuông cỡ $9\times 9$. Di chuyển ngẫu nhiên quân cờ 4 nước, mỗi nước quân cờ đi sang ô chung 1 đỉnh hoặc chung 1 cạnh với ô trước đó. Có bao nhiêu cách di chuyển để sau 4 nước, quân cờ quay trở lại ô trung tâm?